On considère l'EDO déterminée par \(\Phi : \mathbb{R} \times \Omega \to \Omega\) avec \(\Omega \subset \mathbb{R}^d\), où \(\Phi\) est continue et localement Lipschitz en la seconde variable $$\dot{x}(t) = \Phi( t , x(t) ) \, ,$$ et on suppose qu'on est en mesure de montrer pour une solution maximale \(x : (t_- , t_+) \to \Omega\) le contrôle suivant : $$| x(t) | \le M(t) \, , \qquad M \in L^\infty_{ \text{loc} }(\mathbb{R} ) \, .$$ Plusieurs exemples envisageables de contrôles sont
Le critère d'explosion implique pour tout \(t_- < T < \max\{ t_+, + \infty\} \) que \(t_+ > T\). En effet, on a que $$\dot{x}_T(t) = \Phi_T( t , x(t) ) \, , \quad x_T := x_{ | \big(t_-, \min\{ t_+, T \} \big) } \, , \quad \Phi_T := \Phi_{ | (t_- , T) \times \Omega } \, ,$$ où \(x_T\) est maximale pour cette «EDO restreinte». Cependant, le contrôle sur \(x\) nous donne $$\forall t \in \big(t_-, \min\{ t_+, T \} \big) \, , \quad | x_T(t) | \le \sup_{ \big(t_-, \min\{ t_+, T \} \big) } | M(t) | < \infty \, .$$ Ainsi, \(x_T\) est «globale à droite» pour cette EDO restreinte à \( (t_-, T) \) (existe jusqu'au temps \(T\)), c'est-à-dire \(\min\{t_+, T\} = T\). Puisque \(T\) est arbitraire, on en déduit \(t_+ = +\infty\).