Rappelons que d'après les questions précédentes, pour tout \(t \in [0, t_\text{max}) \), on a $$M(t) \in D \quad \text{et} \quad V(M) = \| M \|_1 \le \| M_0 \|_1$$ donc \(M\) est confinée dans un compact et est ainsi globale ( \( t_{ \text{max} } = +\infty \) ). Rappelons également que les fonctions $$V(x, y) = x + y \quad \text{et} \quad H(x, y) = x + y - \frac 1 2 \log x \, ,$$ sont respectivement une fonction de Lyapunov et une intégrale première.
Nous allons montrer que toute solution issue de \(D\) entre dans \(E := (0, \frac 1 2 ) \times (0, \infty) \) en temps fini, puis qu'elle converge vers un équilibre de la forme \( (x_\infty, 0) \) avec \( x_\infty \in (0, \frac 1 2 ) \).
Supposons le contraire, c'est-à-dire que \( x(t) \ge \frac 1 2 \) pour tout \( t \ge 0 \). Dans ce cas, \( \dot{y} = 2 y (x - \frac 1 2) \ge 0 \) et donc \( y \ge y_0 \). Par suite, on déduit \( \dot{x} = - 2 x y \le - y_0 \) et ainsi \( x(t) \le x_0 -y_0 t\), ce qui mène à une contradiction pour \( t \) assez grand. En conclusion, \( M \) entre dans \( E \) en temps fini.
Pour montrer que \( M(t) \) converge lorsque \( t \to \infty \), sachant que \( M \) est borné, il suffit de montrer de plus que \( M(t) \) admet au plus une valeur d'adhérence.
C'est le cas puisque l'existence d'une fonction de Lyapunov implique que toute valeur d'adhérence est un point fixe dans \( E \), c'est-à-dire de la forme \( (x_\infty, 0) \) avec \( x_\infty \in [0, \frac 1 2 ] \). Il reste alors à vérifier qu'un tel \( x_\infty \) est unique.
Puisque \( H(M(t)) = H(M_0) \), on a en passant à la limite \( H(x_\infty, 0) = H(M_0) \), ce qui exclut en particulier le cas \( x_\infty = 0 \) (puisque « \( H(0,0) = - \infty \) » tandis que \( H(M_0) \) est fini ). Or, on peut vérifier que \( H(\cdot, 0) \) est injective sur \( (0, \frac 1 2] \), ainsi \(x_\infty \) est unique.
En conclusion, \( M(t) \) converge vers \( (x_\infty, 0) \) où \( x_\infty = H( \cdot , 0)^{-1} ( H(M_0) ) \in (0, \frac 1 2] \) .
Voici un corrigé de l'exercice 3 du DS1 de 2021.
On considère l'EDO déterminée par \(\Phi : \mathbb{R} \times \Omega \to \Omega\) avec \(\Omega \subset \mathbb{R}^d\), où \(\Phi\) est continue et localement Lipschitz en la seconde variable $$\dot{x}(t) = \Phi( t , x(t) ) \, ,$$ et on suppose qu'on est en mesure de montrer pour une solution maximale \(x : (t_- , t_+) \to \Omega\) le contrôle suivant : $$| x(t) | \le M(t) \, , \qquad M \in L^\infty_{ \text{loc} }(\mathbb{R} ) \, .$$ Plusieurs exemples envisageables de contrôles sont
Le critère d'explosion implique pour tout \(t_- < T < \max\{ t_+, + \infty\} \) que \(t_+ > T\). En effet, on a que $$\dot{x}_T(t) = \Phi_T( t , x(t) ) \, , \quad x_T := x_{ | \big(t_-, \min\{ t_+, T \} \big) } \, , \quad \Phi_T := \Phi_{ | (t_- , T) \times \Omega } \, ,$$ où \(x_T\) est maximale pour cette «EDO restreinte». Cependant, le contrôle sur \(x\) nous donne $$\forall t \in \big(t_-, \min\{ t_+, T \} \big) \, , \quad | x_T(t) | \le \sup_{ \big(t_-, \min\{ t_+, T \} \big) } | M(t) | < \infty \, .$$ Ainsi, \(x_T\) est «globale à droite» pour cette EDO restreinte à \( (t_-, T) \) (existe jusqu'au temps \(T\)), c'est-à-dire \(\min\{t_+, T\} = T\). Puisque \(T\) est arbitraire, on en déduit \(t_+ = +\infty\).